常见的勾股数组都有那些？
3， 4， 55 ，12 ，137， 24 ，259 ，40 ，4111， 60 ，6113 ，84， 8515， 112 ，1138，15，1712，35，3748，55，73
第一类型
当a为大于1的奇数2n+1时，b=2n²+2n, c=2n²+2n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。
第二类型
2、当a为大于4的偶数2n时，b=n²-1, c=n²+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
扩展资料：
公式证明
证明
a=2mn
b=m²-n²
c=m²+n²
证：
假设a²+b²=c²，这里研究(a,b)=1的情况（如果不等于1则(a,b)|c，两边除以(a,b)即可）
如果a,b均奇数，则a² + b² = 2(mod 4)（奇数mod4余1），而2不是模4的二次剩余，矛盾，所以必定存在一个偶数。不妨设a=2k
等式化为4k² = (c+b)(c-b)
显然b,c同奇偶（否则右边等于奇数矛盾）
作代换：M=(c+b)/2, N=(c-b)/2，显然M，N为正整数
往证：(M,N)=1
如果存在质数p，使得p|M,p|N, 那么p|M+N(=c), p|M-N(=b), 从而p|c, p|b, 从而p|a，这与(a,b)=1矛盾
所以(M,N)=1得证。
依照算术基本定理，k² = p₁a₁×p₂a₂×p₃a₃×…，其中a₁,a₂…均为偶数，p₁,p₂,p₃…均为质数
如果对于某个pi，M的pi因子个数为奇数个，那N对应的pi因子必为奇数个（否则加起来不为偶数），从而pi|M, pi|N，(M,N)=pi>1与刚才的证明矛盾 所以对于所有质因子,pi²|M, pi²|N，即M，N都是平方数。
设M = m², N = n²
从而有c+b = 2m², c-b = 2n²，解得c=m²+n², b=m²-n², 从而a=2mn
标签：勾股,数组,常见
