如图，已知正方形$ABCD$的边长为$4$，点$M$和$N$分别从$B$、$C$同时出发，以相同的速度沿$BC$、$CD$向终点$C$、$D$运动，连接$AM$、$BN$，交于点$P$，连接$PC$，则$PC$长的最小值为（ ）A.$2\sqrt{5}-2$B.$2$C.$3\sqrt{5}-1$D.$2\sqrt{5}$
由题意得：$BM=CN$，
$\because $四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore \angle ABM=\angle BCN=90^{\circ}$，$AB=BC=4$，
在$\triangle ABM$和$\triangle BCN$中，$AB=BC$，$\angle ABM=\angle BCN$，$MB=CN$，
$\therefore \triangle ABM$≌$\triangle BCN\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle BAM=\angle CBN$，
$\because \angle ABP+\angle CBN=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ABP+\angle BAM=90^{\circ}$，
$\therefore \angle APB=90^{\circ}$，
$\therefore $点$p$是以$AP$为半径的圆上远动，设圆心为$O$，运动路径一条弧$\widehat {BG}$，是这个圆的$\frac{1}{4}$，如图所示：
连接$OC$交圆$O$于$P$，此时$PC$最小，
$\because AB=4$，
$\therefore OP=OB=2$，
由勾股定理得：$OC=\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}=2\sqrt{5}$，
$\therefore PC=OC-OP=2\sqrt{5}-2$；
故选：$A$.
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