什么是阶梯形矩阵?
我们知道阶梯形（包括上三角形）方程组的通解很容易求，那么阶梯形方程组的增广矩阵又有什么特征呢？
定义. 如果矩阵中每一行第一个非零元素（称为该行的非零首元）必在上一行非零首元的右下方，则我们称这样的矩阵为阶梯形矩阵．
很显然，阶梯形方程组的增广矩阵都为阶梯形矩阵，但是阶梯形的矩阵可能对应一个没有解的方程组．比如矩阵（0 1）就对应一个矛盾的方程．
例1.1.5 设
a) b) c) d)其中a), b), d)是阶梯形矩阵；而c)不是，因为其第5行非零首元3不在上一行非零首元-1的右下方，而是在-1的正下方．
定理. 任意矩阵A均可经有限次初等行变换化为阶梯形，虽然化成的阶梯形矩阵不唯一，但所有化成的阶梯形矩阵都具有相同个数的非零行（即该行至少有一个元素不为零），我们称这个数为矩阵A的秩，记作r(A)．
我们略去此定理的一般证明，用一个具体实例来说明定理的结论．
例1.1.6.将矩阵化为阶梯形．
解.（点击此处看从A初等变换到B的过程）
最后的矩阵 是阶梯形了．
如果对上述B再施行两个行变换：及，即得更简单的阶梯形矩阵
，
再进一步，对C施行四个初等列变换：即将第一列的-11/4倍加到第五列上，及,，又可将C化成所谓标准形矩阵，即
.
定义.设m×n阶矩阵A=中,(其中表示m与n这两个数中的较小者)，除此以外所有元素均为0，则称A为标准形矩阵．标准形矩阵的秩显然等于其非零元的个数．
从以上的例子中不难看出，每个矩阵都可经有限次初等变换化为标准形．可以证明的是标准形的得到与施行怎样的初等变换（不管是行变换还是列变换）无关，即所有矩阵的标准形都与原矩阵具有相同的秩．
例1.1.7 把矩阵化为阶梯形,并求A的秩及标准形．
解.
此即A的一个阶梯形矩阵，且因其有2个非零行(第1行与第2行)，故r(A)=2，且A的标准形是．
需要注意的是，矩阵A化成的阶梯形不是唯一的，而标准形是唯一的，标准形就是一个特殊的阶梯形．
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