如图，已知等腰三角形\(ABC\)的底角为\(30^{\circ}\)，以\(BC\)为直径的\(⊙O\)与底边\(AB\)交于点\(D\)，过\(D\)作\(DE⊥AC\)，垂足为\(E\)．\((1)\)证明：\(DE\)为\(⊙O\)的切线； \((2)\)连接\(OE\)，若\(BC=4\)，求\(\triangle OEC\)的面积．
\((1)\)证明：连接\(OD\)，\(CD\)，
\(∵BC\)为\(⊙O\)直径，
\(∴∠BDC=90^{\circ}\)，
即\(CD⊥AB\)，
\(∵\triangle ABC\)是等腰三角形，
\(∴AD=BD\)，
\(∵OB=OC\)，
\(∴OD\)是\(\triangle ABC\)的中位线，
\(∴OD/\!/AC\)，
\(∵DE⊥AC\)，
\(∴OD⊥DE\)，
\(∵D\)点在\(⊙O\)上，
\(∴DE\)为\(⊙O\)的切线；
\((2)\)解：\(∵∠A=∠B=30^{\circ}\)，\(BC=4\)，
\(∴CD= \dfrac {1}{2}BC=2\)，\(BD=BC⋅\cos 30^{\circ}=2 \sqrt {3}\)，
\(∴AD=BD=2 \sqrt {3}\)，\(AB=2BD=4 \sqrt {3}\)，
\(∴S_{\triangle ABC}= \dfrac {1}{2}AB⋅CD= \dfrac {1}{2}×4 \sqrt {3}×2=4 \sqrt {3}\)，
\(∵DE⊥AC\)，
\(∴DE= \dfrac {1}{2}AD= \dfrac {1}{2}×2 \sqrt {3}= \sqrt {3}\)，
\(AE=AD⋅\cos 30^{\circ}=3\)，
\(∴S_{\triangle ODE}= \dfrac {1}{2}OD⋅DE= \dfrac {1}{2}×2× \sqrt {3}= \sqrt {3}\)，
\(S_{\triangle ADE}= \dfrac {1}{2}AE⋅DE= \dfrac {1}{2}× \sqrt {3}×3= \dfrac {3}{2} \sqrt {3}\)，
\(∵S_{\triangle BOD}= \dfrac {1}{2}S_{\triangle BCD}= \dfrac {1}{2}× \dfrac {1}{2}S_{\triangle ABC}= \dfrac {1}{4}×4 \sqrt {3}= \sqrt {3}\)，
\(∴S_{\triangle OEC}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle BOD}-S_{\triangle ODE}-S_{\triangle ADE}=4 \sqrt {3}- \sqrt {3}- \sqrt {3}- \dfrac {3}{2} \sqrt {3}= \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)．
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