正多边形的面积计算公式?

正多边形的面积计算公式?

nsqrt(3)a^2/4

a是边长，n是边数

sqrt(3) 表示根号3 证明 设正n边形的面积为S，

则，S=(1/2)nR^2*sinα=nr^2tan（α/2)

式中，n--边数，R--三角形的外接圆的半径，r--三角形的内切圆的半径，α--一边所对的圆心角（以度计）

证明也很简单。

正n边形可分割成n割等腰三角形，按上述参数计数三角形的面积加起来就是正n边形的面积，当然有点技巧。

现证明如下。

(1) 设正n边形的边长为AB,O为三角形外接圆心(内切圆与之同心）,

连接OA、OB,得一三角形AOB，其面积为：S'AOB

则，S'△AOB=(1/2)*AB*Rcos(α/2)

且，AB/2=Rsin(α/2),即AB=2Rsin(α/2)

故，S'△AOB=(1/2)*2R^2sin(α/2)cos(α/2)

S'△AOB=(1/2)R^2sinα

正n边形的面积S=n*S△AOB

故，S=(1/2)nR^2sinα

（2）再证以内切圆半径r和圆心角α表示的正多边形的面积S

证：因r是圆O的外切正多边形的边心距，也是△AOB的AB上的高（r)

S''△AOB=(1/2)*AB*r

此时 ，AB/2=rtan(α/2),故AB=2rtan(α/2)

S''△AOB=(1/2)*2r^2tan(α/2)=r^2*tan(α/2)

故，正n边形的面积S=n*S''△AOB=nr^2*tan(α/2)

标签：正多边形,计算公式,面积