初等数论是一个怎样的学科
[编辑本段]理论概述初等数论 是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。它是数论的一个最古老的分支。它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、同余理论、连分数理论和某些特殊不定方程。 换言之，初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。另外还有解析数论（用解析的方法研究数论。）、代数数论（用代数结构的方法研究数论）。 [编辑本段]历史发展古希腊毕达哥拉斯是初等数论的先驱。他与他的学派致力于一些特殊整数（如亲和数、完全数、多边形数）及特殊不定方程的研究。公元前4世纪，欧几里德的《几何原本》通过102个命题，初步建立了整数的整除理论。他关于“素数有无穷多个”的证明，被认为是数学证明的典范。 初等数论已经有2000年的历史，2000年来，数论学的一个最重要的任务，就是寻找一个可以表示所有素数的统一公式，或者称为素数普遍公式，为此，人类耗费了巨大的心血。公元3世纪，丢番图研究了若干不定方程，并分别设计巧妙解法，故后人称不定方程为丢番图方程。17世纪以来，P.de费马、L.欧拉、C.F.高斯 等人的工作大大丰富和发展了初等数论的内容。中国古代对初等数论的研究有着光辉的成就，《周髀算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》、《数书九章》等古文献上都有记载。孙子定理比欧洲早500年， 西方常称此定理为中国剩余定理，秦九韶的大衍求一术也驰名世界。初等数论不仅是研究纯数学的基础，也是许多学科的重要工具。它的应用是多方面的，如计算机科学、组合数学、密码学、信息论等。如公开密钥体制的提出是数论在密码学中的重要应用。初等数论内容初等数论有以下几部分内容。1. 整除理论。 引入整除、因数、倍数、质数等基本概念。 这一理论的主要成果有： 欧几里德 的辗转相除法、算术基本定理、素数个数无限证明。2.同余理论。 主要出自于高斯的《算术研究》内容。 定义了同余、原根、指数、平方剩余 、 同余方程等概念。 主要成果： 二次互反律、欧拉定理、费马小定理、威尔逊定理、孙子定理（即中国剩余定理）等等。3. 连分数理论。 引入了连分数概念和算法等等。 特别是研究了整数平方根的连分数展开。 主要成果： 循环连分数展开、最佳逼近问题、佩尔方程求解。4. 不定方程。 主要研究了低次代数曲线对应的不定方程， 比如勾股方程的商高定理、佩尔方程的连分数求解。也包括了4次费马方程的求解问题等等。5. 数论函数。 比如欧拉函数、莫比乌斯变换等等。 [编辑本段]代表人物1. 费马 费马在古典数论领域中的成果很多，比如提出了不定方程无解证明的无穷递降法， 引入了费马数等等。与费马名字相关的著名结论如下：费马小定理：a^p-a≡0(mod p)，其中p是一个素数，a是正整数。事实上它是欧拉定理的一个特殊情况，Euler定理是说：a^φ(n)-1≡0(mod n),a，n都是正整数，φ(n)是Euler函数，表示和n互素的小于n的正整数的个数。费马大定理（当时是猜想）：n>2是整数，则方程x^n+y^n=z^n没有满足xyz≠0的整数解。这个是不定方程，它已经由美国数学家外尔斯证明了(1995年)，证明的过程相当艰深。2. 欧拉. 引入欧拉函数， 得到著名的欧拉定理--费马小定理推广； 研究了连分数展开问题；用解析方法证明了素数无限；讨论平方和问题及哥德巴赫猜想--加性数论内容。 3.高斯.，被誉为“数学王子” 。解决了正多边形尺规作图问题， 将它和费马数联系起来。高斯的著作《算术研究》提出了同余理论， 讨论了平方剩余问题，发现了二次互反律。 高斯提出了著名的素数定理（当时是猜想），研究了指标和估计问题---表示论的雏形。
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