在四棱台$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，底面$ABCD$是边长为$2$的菱形，$AA_{1}=A_{1}B_{1}=1$，$\angle BAD=120^{\circ}$，$AA_{1}\bot $平面$ABCD$.$(1)E$是棱$AD$的中点，求证：$B_{1}E$∥平面$CDD_{1}C_{1}$；$(2)$求四棱锥$C-ABB_{1}A_{1}$的体积.
$(1)$证明：连结$DC_{1}$，由$B_{1}C_{1}$∥$AD$，$E$是棱$AD$的中点，得$B_{1}C_{1}$∥$DE$且$B_{1}C_{1}=DE$，
故四边形$B_{1}EDC_{1}$为平行四边形，所以$B_{1}E$∥$C_{1}D$，
又$C_{1}D\subset $平面$CDD_{1}C_{1}$，$B_{1}E$⊄平面$CDD_{1}C_{1}$，
所以$B_{1}E$∥平面$CDD_{1}C_{1}$；
$(2)$取$AB$的中点$F$，连结$AC$，$CF$，因为底面$ABCD$是菱形，$\angle BAD=120^{\circ}$，
所以$CF\bot AB$，又$AA_{1}\bot $面$ABCD$，所以$AA_{1}\bot CF$，因为$AA_{1}\cap AB=A$，
所以$CF\bot $平面$ABB_{1}A_{1}$，即$CF$为四棱锥$C-ABB_{1}A_{1}$的高，且$CF=\sqrt{3}$，
而${S}_{直角梯形A{A}_{1}{B}_{1}B}=\frac{(1+2)×1}{2}=\frac{3}{2}$，
所以四棱锥$C-ABB_{1}A_{1}$的体积$V=\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
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