函数是什么
概述
简而言之，函数是将唯一的输出值赋予每一输入的“法则”。这一“法则”可以用函数表达式、数学关系，或者一个将输入值与输出值对应列出的简单表格来表示。函数最重要的性质是其决定性，即同一输入总是对应同一输出（注意，反之未必成立）。从这种视角，可以将函数看作“机器”或者“黑盒”，它将有效的输入值变换为唯一的输出值。通常将输入值称作函数的参数，将输出值称作函数的值。
最常见的函数的参数和函数值都是数，其对应关系用函数式表示，函数值可以通过直接将参数值代入函数式得到。如下例，
f(x) = x2 ，x 的平方即是函数值。
也可以将函数很简单的推广到与多个参量相关的情况。例如：
g(x,y) = xy 有两个参量x和y，以乘积xy为值。与前面不同，这一“法则”与两个输入相关。其实，可以将这两个输入看作一个有序对(x, y），记g为以这个有序对(x, y）作参数的函数，这个函数的值是xy。
科学研究中经常出现未知或不能给出表达式的函数。例如地球上不同时刻温度的分布，这一函数以地点和时间为参量，以某一地点、某一时刻的温度作为输出。
函数的概念并不局限于数的计算，甚至也不局限于计算。函数的数学概念更为宽泛，而且不仅仅包括数之间的映射关系。函数将“定义域”（输入集）与“对映域”（可能输出集）联系起来，使得定义域的每一个元素都唯一对应对映域中的一个元素。函数，如下文所述，被抽象定义为确定的数学关系。由于函数定义的一般性，函数概念对于几乎所有的数学分支都是很基本的。
正式定义
从输入值集合X 到可能的输出值集合Y 的函数f（记作 f : X → Y）是X与Y的关系，满足如下条件：
f 是完全的：对X 中任一元素x 都有集合Y 中的元素y 满足x f y （x 与y 是f 相关的）。即，对每一个输入值，Y 中都有至少一个与之对应的输出值。
f 是多对一的：若x f y 且x f z ，则y = z 。即，多个输入可以映射到一个输出，但一个输入不能映射到多个输出。
定义域中任一x 在对映域中唯一对应的y 记为f(x)。
比上面定义更简明的表述如下：从X 映射到Y 的函数f 是X 与Y 的直积X × Y 的子集。X 中任一x 都与Y 中的y 唯一对应，且有序对(x, y)属于f 。
X与Y的关系若满足条件(1)，则为多值函数。函数都是多值函数，但多值函数不都是函数。X与Y的关系若满足条件(2)，则为偏函数。函数都是偏函数，但偏函数不都是函数。除非特别指明，本百科全书中的“函数”总是指同时满足以上两个条件的关系。
函数的特性
函数可分为
奇函数或偶函数
连续函数或不连续函数
实函数或虚函数
标量函数或向量函数
标签：函数
