关于微分定义中的高阶无穷小o(Δx)的疑问。
你说的对,利用微分进行近似计算时,Δx并不是无穷小量,而是一个确定的量,无穷小是一个以零为极限的变量,确定的量不可能是无穷小量,但是为什么在上面微分的定义中却使用了高阶的无穷小o(Δx)的概念,表达式o(Δx)表示的是比Δx趋于零的速度快的无穷小量,这就意味着Δx也是无穷小量,要搞懂为什么,首先需要搞懂微分的定义.
函数的增量Δy表示为两个量之和：Δy=AΔx+o(Δx)，Δy,AΔx,o(Δx)均是确定的量,这里的等式是通常意义下的等式,该表达式是个“静态的”,将一个量表示为两个量之和的方法很多,这里要求将增量Δy表示为两个量之和,要求其中一个量应是自变量增量的一个倍数,另一个变量是当自变量增量Δx趋于零时,它比Δx趋于零的速度快,为了确定或刻划这两个量的特征用了“动态的”形式,一般地,一个量A表示为另外两个量B,C之和A=B+C,为确定或刻划量B,C的特证,可加一些“动态的”条件,即如果B按某种方式变化了,需要C按另外一种方式变化,当然前提是两个量B,C之间是“关联的”,不是独立的.
因此将那个是自变量增量倍数的量记为AΔx,将那个当自变量增量Δx趋于零时,它比Δx趋于零的速度快的量记为o(Δx),如果Δx是确定的量,则o(Δx)= Δy-AΔx也是确定的量,只有当Δx→0时,才体现出符号o(Δx)的含义,它是比Δx趋于零的速度更快的无穷小量.
这就回答了你的提问,为了更好地理解微分的概念,需要了解微分和积分之间的关系,下面就谈谈微分和积分之间的关系.
如果能将函数的增量Δy表示为上述特征的两个量之和，其中AΔx就称为对应于自变量增量Δx的微分,记为dy.
如果变量y是变量x的函数y=f(x),由Δy=AΔx+o(Δx)得Δy/Δx=A+o(Δx)/Δx,当Δx→0时,由高阶无穷小的定义可知o(Δx)/Δx→0,Δy/Δx→A,从而可知A是f(x)的1阶导数,A=f′(x).
微分不单纯是为了近似计算,它有着更深刻的理论意义.由高阶无穷小量的定义可知,当Δx→0时,o=o(Δx)/Δx→0,故高阶无穷小量o(Δx)可表示为o(Δx)=oΔx,其中当Δx→0时,o→0,将自变量变化范围[a,b]分为一些小区间
a=x0<x1<x2<…<xn=b
每个小区间函数的增量分别为Δy1,Δy2,…,Δyn,显然
f(b)-f(a)=Δy1+Δy2+…+Δyn
=f′(x1)Δx1+o(Δx1)+f′(x2)Δx2+o(Δx2)+…+ f′(xn)Δxn+o(Δxn)
=f′(x1)Δx1+o1Δx1+f′(x2)Δx2+o2Δx2+…+ f′(xn)Δxn+onΔxn
=f′(x1)Δx1+f′(x2)Δx2+…+ f′(xn)Δxn+o1Δx1+…+onΔxn，
显然Δx1+Δx2+…+Δxn=b-a，并当每个子区间的长Δxi→0时，o1→0,o2→0,…,on→0，容易证明o1Δx1+…+onΔxn→0，故
f′(x1)Δx1+f′(x2)Δx2+…+ f′(xn)Δxn→f(b)-f(a)
上式左边恰是f′(x)在[a,b]的(有限)积分和,其极限是f′(x)在[a,b]的积分，故有
f′(x)在[a,b]的积分=f(b)-f(a)
这不恰是Newton-Leibnitzi公式吗？
每个子区间对应的微分加起来,当所有小区间的长趋于零时,该和的极限恰是f′(x)在[a,b]的积分.即函数在每个子区间微分的无限和恰是该函数在区间上的积分.积分是无限多个微分之和,从中也看出了微分和积分之间的关系.
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